PRML上巻 P17 - 一日坊主

1.2.1 確率密度

連続変数についての確率を考える．実数値を取る変数 $x$ が区間 $(x,x+\delta x)$ に入る確率が， $\delta x \to 0$ のとき $p(x)\delta x$ で与えられるとき， $p(x)$ を $x$ 上の確率密度（probability density）とよぶ．

このとき， $x$ が区間 $(a,b)$ にある確率は

$\displaystyle{ p(x\in(a,b))=\int_{a}^{b}p(x)\mathrm{d}x \tag{1.24} }$

で与えられる．

確率は非負で $x$ は実数上のどこかの値をとらなければならないことから，確率密度は以下の2つの条件を満たす．

$\begin{align*} p(x)\geq 0 \tag{1.25} \\ \int_{-\infty}^{\infty}p(x)\mathrm{d}x=1 \tag{1.26} \\ \end{align*}$

ここで，変数変換 $x=g(y)$ を考える．確率密度 $p_x(x)$ に対応する，新しい変数 $y$ に関する密度 $p_y(y)$ を考えると，区間 $(x,x+\delta x)$ に入る観測値は， $\delta x$ が小さければ区間 $(y, y+\delta y)$ に入り， $p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)\delta y$ となる．したがって，