一日坊主

雰囲気でやっている

PRML上巻 演習問題1.6

prml

演習問題1.6

2つの変数x,yが独立なら，それらの共分散は0になることを示せ．

演習問題1.6 解答

2つの変数x,yの共分散は，

\begin{align*} \mathrm{cov}[x,y]&=\mathbb{E}_{x,y}\left[\{x-\mathbb{E}[x]\}\{y-\mathbb{E}[y]\}\right]\\ &=\mathbb{E}_{x,y}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y] \end{align*}

ここで，x,yは独立のため，

\mathbb{E}_{x,y}[xy]=\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]

が成り立つ．したがって，

\begin{align*} \mathrm{cov}[x,y]&=\mathbb{E}_{x,y}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y] \\ &=\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y] \\ &=0 \end{align*}

となる． （これで良いのか？）